【高等数学全部公式】在学习和研究高等数学的过程中，掌握各类公式是理解数学概念、解决实际问题的重要基础。高等数学涵盖了微积分、线性代数、多元函数、微分方程等多个领域，其中各种公式的应用贯穿始终。本文将系统整理并介绍一些常见的高等数学公式，帮助读者更好地理解和运用这些知识。
一、微积分相关公式
1. 导数基本公式
- $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$
- $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$
- $\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$
- $\frac{d}{dx} e^x = e^x$
- $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$
- $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$（其中 $a > 0$）
2. 积分基本公式
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
3. 微分法则
- 加法法则：$(f + g)' = f' + g'$
- 乘法法则：$(fg)' = f'g + fg'$
- 链式法则：$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
二、极限与连续
1. 常见极限公式
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
- $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
2. 连续性定义
若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足以下三个条件：
1. $f(x_0)$ 存在；
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在；
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
三、泰勒展开与麦克劳林公式
对于可导函数 $f(x)$，在 $x=a$ 处的泰勒展开为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
当 $a=0$ 时，称为麦克劳林展开：
$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)
$$
常见函数的麦克劳林展开：
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
- $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
四、多元函数微分
1. 偏导数
设 $z = f(x, y)$，则对 $x$ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}
$$
同理可得对 $y$ 的偏导数。
2. 全微分
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
3. 方向导数
方向导数表示函数在某一点沿某一方向的变化率，计算公式为：
$$
D_{\vec{u}} f(x, y) = \nabla f \cdot \vec{u}
$$
其中 $\vec{u}$ 是单位向量，$\nabla f$ 是梯度向量。
五、积分变换与级数
1. 积分换元法
设 $x = \phi(t)$，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt
$$
2. 分部积分法
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
3. 级数收敛判别法
- 比值判别法：若 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$，则级数收敛；
- 根值判别法：若 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1$，则级数收敛；
- 比较判别法：若 $|a_n| \leq b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 也收敛。
六、微分方程基础
1. 一阶线性微分方程
形式为：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
解法：使用积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$，通解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
2. 可分离变量方程
形如：
$$
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
$$
解法：两边分别积分：
$$
\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C
$$
七、向量与空间解析几何
1. 向量运算
- 向量加法：$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$
- 数乘：$k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$
- 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
- 叉积：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$
2. 直线与平面方程
- 直线的一般式：$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$
- 平面的一般式：$Ax + By + Cz + D = 0$
结语
高等数学中的公式繁多，但它们都是建立在基本原理之上的工具。熟练掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对数学本质的理解。希望本文能为学习者提供一个清晰的参考，帮助大家在数学的海洋中更进一步。
