【离散数学期末考试题及答案】在大学课程中，离散数学是一门基础性与逻辑性极强的学科，广泛应用于计算机科学、信息工程、人工智能等领域。为了帮助学生更好地复习和掌握该课程的核心知识点，以下是一份模拟的“离散数学期末考试题及答案”，旨在提供一个参考范例，帮助大家理解考试形式与解题思路。
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列哪个集合是空集？
A. {x | x² = -1, x ∈ R}
B. {x | x < 0, x ∈ N}
C. {x | x > 5, x ∈ Z}
D. {x | x = 2x, x ∈ R}
答案：A
2. 设集合A = {1, 2}, 集合B = {2, 3}，则A ∪ B 是：
A. {1, 2}
B. {2, 3}
C. {1, 2, 3}
D. {1, 3}
答案：C
3. 下列哪一个不是命题？
A. 北京是中国的首都
B. 今天天气真好
C. 2 + 2 = 4
D. 1 + 1 = 3
答案：B
4. 命题“如果下雨，则地湿”的逆否命题是：
A. 如果地湿，则下雨
B. 如果不下雨，则地不湿
C. 如果地不湿，则不下雨
D. 如果下雨，则地不湿
答案：C
5. 在图论中，一棵树有n个顶点，则它有多少条边？
A. n-1
B. n
C. n+1
D. 不确定
答案：A
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 设集合A = {a, b, c}，则A的幂集的元素个数为__________。
答案：8
2. 若p → q 是假命题，则p为__________，q为__________。
答案：真；假
3. 在一个无向图中，所有顶点的度数之和一定是__________。
答案：偶数
4. 设R是集合A上的等价关系，则R必须满足的三个性质是：自反性、对称性和__________。
答案：传递性
5. 在逻辑中，“¬(p ∧ q)”等价于__________。
答案：¬p ∨ ¬q
三、简答题（每题10分，共30分）
1. 什么是集合的笛卡尔积？请给出两个集合A = {1, 2} 和 B = {a, b} 的笛卡尔积，并说明其含义。
答：
笛卡尔积是指两个集合A和B的所有有序对的集合，记作A × B。
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}。
这表示从集合A中任取一个元素，与集合B中的每一个元素组合成有序对。
2. 证明：若p → q 为真，且q → r 为真，则p → r 也为真。
答：
根据逻辑推理规则，若p → q 为真，且q → r 为真，那么根据传递性可以推出p → r 为真。
即：若p成立，则q成立；若q成立，则r成立。因此，若p成立，则r也成立，即p → r 为真。
3. 画出一个简单图G，使得它的顶点数为4，边数为3，并指出该图是否为树。
答：
可以构造一个图，包含顶点v1, v2, v3, v4，边为(v1, v2)、(v2, v3)、(v3, v4)，构成一条链状结构。
该图有4个顶点和3条边，但存在环吗？不，这是一个连通图，且没有环，因此是一个树。
四、计算题（每题10分，共20分）
1. 设集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，求A ∩ B 和 A ∪ B。
解：
A ∩ B = {3, 4}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. 求逻辑表达式 (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) 的主析取范式。
解：
通过真值表分析可得，该表达式的主析取范式为：
(p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r)
五、综合应用题（每题15分，共30分）
1. 设有一个图G，其顶点集合为V = {v1, v2, v3, v4}，边集合为E = {(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), (v1, v4)}。
（1）判断该图是否为欧拉图或哈密尔顿图；
（2）求该图的邻接矩阵。
答：
（1）该图中每个顶点的度数分别为：
v1: 2，v2: 2，v3: 2，v4: 2 → 所有顶点的度数均为偶数，因此是欧拉图。
是否为哈密尔顿图？该图存在一条路径经过所有顶点一次，如v1→v2→v3→v4，因此也是哈密尔顿图。
（2）邻接矩阵如下：
```
v1 v2 v3 v4
v10101
v21010
v30101
v41010
```
2. 设函数f: R → R，定义为f(x) = x² - 2x + 1。
（1）判断该函数是否为单射、满射或双射；
（2）求f的反函数（如果存在的话）。
答：
（1）f(x) = (x - 1)²，显然该函数不是单射，因为不同的x可能得到相同的f(x)（如x=0和x=2都得到f(x)=1）。也不是满射，因为f(x) ≥ 0，而R中有负数，所以不能覆盖整个R。因此，既不是单射也不是满射，更不是双射。
（2）由于函数不是单射，因此不存在反函数。
总结：
本套试题涵盖了离散数学的主要内容，包括集合论、逻辑学、图论以及函数的基本概念。通过练习这些题目，可以帮助学生巩固基础知识，提高解题能力，为考试做好充分准备。
