在数学学习中，幂的运算是一个重要的基础知识点，它不仅贯穿于代数的各个领域，也是解决实际问题的关键工具。其中，幂的乘方与积的乘方是两个非常重要的概念。为了帮助大家更好地掌握这些知识，下面我们将通过一系列练习题来巩固相关技能。
基础概念回顾
1. 幂的乘方
若 \(a^m\) 表示一个数 \(a\) 的 \(m\) 次幂，则其乘方可以表示为 \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)。简单来说，就是将指数相乘。
2. 积的乘方
对于两个数的积，比如 \(ab\)，当它们同时被提升到某个相同的次幂时，可以用公式 \((ab)^n = a^n \cdot b^n\) 来计算。
以上两个公式看似简单，但它们的应用范围十分广泛。接下来，我们通过一些具体题目来加深理解。
练习题
一、选择题
1. 计算 \((2^3)^4\) 的结果为（ ）。
A. \(2^{7}\)
B. \(2^{12}\)
C. \(8^{4}\)
D. \(64^{3}\)
2. 已知 \((xy)^5 = x^5y^5\)，则下列选项正确的是（ ）。
A. \(x=0, y=0\)
B. \(x=1, y=1\)
C. \(x=-1, y=-1\)
D. 所有实数 \(x, y\)
3. 若 \(a^2 \cdot a^3 = a^k\)，则 \(k\) 的值为（ ）。
A. 5
B. 6
C. 9
D. 10
二、填空题
1. 计算 \((3^2)^3 = \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
2. 若 \((2x)^3 = 8x^3\)，则 \(x\) 的值为 \_\_\_\_\_\_\_\_。
3. 已知 \(a^4 \cdot b^4 = (ab)^n\)，则 \(n=\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
三、解答题
1. 简化表达式：\(((2^3)^2)^2\)。
2. 若 \(x^2 \cdot x^3 = x^{10}\)，求 \(x\) 的值。
3. 已知 \((3x^2y)^2 = 9x^4y^2\)，验证该等式是否成立，并解释原因。
参考答案
一、选择题
1. B
2. D
3. A
二、填空题
1. \(3^6\)
2. \(x=1\)
3. \(n=4\)
三、解答题
1. 原式可化为 \((2^6)^2 = 2^{12}\)。
2. 根据幂的加法规则，\(x^{2+3} = x^{10}\)，所以 \(x^5 = x^{10}\)，即 \(x=0\) 或 \(x=1\)。
3. 展开左边得 \(9x^4y^2\)，与右边相等，因此该等式成立。
通过上述练习题，希望大家能够更加熟练地运用幂的乘方和积的乘方公式。这些知识不仅是数学学习的基础，同时也是解决更复杂问题的重要工具。继续加油吧！
