【数学分析精选习题】在数学学习的众多领域中，数学分析无疑是最具挑战性与深度的一部分。它不仅涉及极限、连续性、微分和积分等基本概念，还涵盖了更高级的内容如级数、函数空间以及多元函数的性质。为了帮助学生更好地掌握这些内容，精选一些典型的数学分析习题显得尤为重要。
本文将围绕数学分析中的核心知识点，选取几道具有代表性的题目，并对其进行详细解析，旨在帮助读者加深对相关理论的理解，同时提升解题能力。
一、极限与连续性
题目1：
设函数 $ f(x) = \frac{\sin x}{x} $，试讨论其在 $ x=0 $ 处的连续性，并求出该点的极限。
解析：
首先，注意到函数 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处无定义，因为分母为零。因此，我们考虑极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
这是一个经典的极限问题，其结果为 1。因此，若我们定义 $ f(0) = 1 $，则函数在 $ x=0 $ 处可连续延拓。由此可见，原函数在该点不连续，但可以通过重新定义使其连续。
二、导数与微分
题目2：
设函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求其在区间 $ [-2, 2] $ 上的最大值和最小值。
解析：
首先，计算导数：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3
$$
令导数为零，解得：
$$
3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1
$$
接下来，计算函数在关键点（包括端点和临界点）的函数值：
- $ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 $
- $ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 $
- $ f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $
- $ f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 $
因此，最大值为 3，出现在 $ x = -1 $ 和 $ x = 2 $；最小值为 -1，出现在 $ x = -2 $ 和 $ x = 1 $。
三、积分与级数
题目3：
判断下列级数是否收敛：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
$$
解析：
这是一个交错级数，形式为 $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $，其中 $ a_n = \frac{1}{n} $。
根据莱布尼茨判别法（Leibniz’s Test），若 $ a_n $ 单调递减且趋于零，则该级数收敛。显然，$ a_n = \frac{1}{n} $ 满足这两个条件，因此该级数是条件收敛的。
四、函数列与函数项级数
题目4：
考虑函数列 $ f_n(x) = \frac{x^n}{n} $，讨论其在区间 $ [0,1] $ 上的收敛性。
解析：
对于每个固定的 $ x \in [0,1) $，当 $ n \to \infty $ 时，$ x^n \to 0 $，所以 $ f_n(x) \to 0 $。
当 $ x = 1 $ 时，$ f_n(1) = \frac{1}{n} \to 0 $。
因此，函数列在 $ [0,1] $ 上逐点收敛于零函数。
进一步考虑一致收敛性：
$$
\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = \sup_{x \in [0,1]} \left| \frac{x^n}{n} \right| = \frac{1}{n}
$$
由于 $ \frac{1}{n} \to 0 $，说明该函数列在 $ [0,1] $ 上一致收敛于零函数。
结语
数学分析是一门需要不断练习与深入思考的学科。通过精选习题的训练，不仅可以巩固基础知识，还能培养逻辑思维与严谨的数学表达能力。希望以上题目能够为你的学习提供帮助，也欢迎继续探索更多有趣的数学问题。
