【高三数学章节专题基础梳理导学案31(二、函数与导数)_图文】在高中数学的学习过程中，函数与导数是核心内容之一，也是高考中分值较高、综合性较强的模块。本导学案旨在帮助同学们系统梳理函数与导数的基础知识，构建清晰的知识框架，为后续的综合应用打下坚实基础。

一、函数的基本概念

函数是描述两个变量之间对应关系的重要工具。其定义如下：

> 设A、B是两个非空数集，如果对于集合A中的每一个元素x，按照某种确定的法则f，都有唯一确定的数y∈B与之对应，那么就称f是从A到B的一个函数，记作：y = f(x)，其中x∈A，y∈B。

常见函数类型：

- 一次函数：y = kx + b（k≠0）

- 二次函数：y = ax² + bx + c（a≠0）

- 指数函数：y = a^x（a>0且a≠1）

- 对数函数：y = log_a x（a>0且a≠1）

- 三角函数：如y = sinx、y = cosx等

函数的表示方法：

- 解析法（公式法）

- 列表法

- 图像法

二、函数的性质

掌握函数的基本性质有助于我们更深入地理解其变化规律。

1. 单调性

函数在某个区间上单调递增或递减，可以通过导数来判断。

- 若f’(x) > 0，则f(x)在该区间上单调递增；

- 若f’(x) < 0，则f(x)在该区间上单调递减。

2. 奇偶性

- 偶函数：f(-x) = f(x)

- 奇函数：f(-x) = -f(x)

3. 周期性

若存在一个非零常数T，使得f(x+T) = f(x)恒成立，则f(x)为周期函数，T为周期。

三、导数的概念与计算

导数是研究函数变化率的重要工具，是微积分的核心内容之一。

导数的定义：

设函数y = f(x)在点x处可导，则其导数为：

$$

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

$$

常用导数公式：

- (x^n)' = n·x^{n-1}

- (sinx)' = cosx

- (cosx)' = -sinx

- (e^x)' = e^x

- (lnx)' = 1/x

四、导数的应用

导数不仅是数学工具，更是解决实际问题的有力手段。

1. 求函数的极值

利用导数可以求出函数的极大值和极小值点，进而分析函数的最值问题。

- 找出导数为零的点（临界点）；

- 判断这些点是否为极值点（可通过二阶导数或单调性分析）。

2. 研究函数的图像

通过导数的正负，可以判断函数的增减趋势；结合极值点、拐点等信息，绘制出函数的大致图像。

3. 实际问题建模

在物理、经济、工程等领域，导数可用于求解瞬时速度、边际成本、增长率等问题。

五、常见题型与解题思路

题型1：求函数的导数

- 方法：熟练掌握基本导数公式和求导法则（如乘积法则、链式法则等）

题型2：利用导数求函数的单调区间

- 步骤：求导 → 解不等式 → 得出单调区间

题型3：利用导数求极值

- 步骤：求导 → 求临界点 → 判断极值类型

题型4：函数图像与导数的关系

- 要求理解导数与切线斜率、函数增减之间的联系

六、学习建议

1. 夯实基础：熟悉函数的定义、性质及常见类型。

2. 加强练习：多做典型例题，提高运算能力和逻辑思维。

3. 注重图像分析：通过图像理解函数的变化趋势和导数的意义。

4. 总结归纳：建立自己的知识体系，便于复习和记忆。

结语：

函数与导数是高中数学中非常重要的部分，也是高考命题的重点内容。希望同学们通过本导学案的梳理，能够更加系统地掌握相关知识点，提升解题能力，为高考打下坚实的基础。