在高中物理的学习过程中，碰撞问题是一个重要的知识点，尤其是在力学部分。其中，完全弹性碰撞是碰撞类型中的一种特殊情况，它不仅满足动量守恒定律，还满足动能守恒定律。本文将详细推导完全弹性碰撞后两物体的速度表达式，帮助同学们更好地理解这一物理过程。
一、基本概念与前提条件
在完全弹性碰撞中，两个物体在碰撞过程中没有能量损失，即系统的机械能保持不变。因此，在这种情况下，我们可以同时应用以下两个守恒定律：
1. 动量守恒定律：系统总动量在碰撞前后保持不变；
2. 动能守恒定律：系统总动能在碰撞前后也保持不变。
设两个物体的质量分别为 $ m_1 $ 和 $ m_2 $，碰撞前的速度分别为 $ v_{1i} $ 和 $ v_{2i} $，碰撞后的速度分别为 $ v_{1f} $ 和 $ v_{2f} $。
二、动量守恒方程
根据动量守恒定律，可以列出如下方程：
$$
m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}
$$
三、动能守恒方程
由于是完全弹性碰撞，动能也守恒，因此有：
$$
\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2
$$
两边同时乘以2，可得：
$$
m_1 v_{1i}^2 + m_2 v_{2i}^2 = m_1 v_{1f}^2 + m_2 v_{2f}^2
$$
四、联立方程求解
我们现在有两个方程，可以通过代数方法求解出 $ v_{1f} $ 和 $ v_{2f} $ 的表达式。
第一步：从动量方程中解出一个变量
例如，从动量方程中解出 $ v_{2f} $：
$$
m_1 (v_{1i} - v_{1f}) = m_2 (v_{2f} - v_{2i})
$$
$$
v_{2f} = v_{2i} + \frac{m_1}{m_2} (v_{1i} - v_{1f})
$$
第二步：将上式代入动能方程
将 $ v_{2f} $ 表达式代入动能方程中，得到关于 $ v_{1f} $ 的方程。经过化简后，可以解出：
$$
v_{1f} = \frac{(m_1 - m_2) v_{1i} + 2 m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2}
$$
同理，也可以推导出 $ v_{2f} $ 的表达式：
$$
v_{2f} = \frac{(m_2 - m_1) v_{2i} + 2 m_1 v_{1i}}{m_1 + m_2}
$$
五、特殊情形分析
1. 当 $ m_1 = m_2 $ 时
此时，两个物体交换速度：
$$
v_{1f} = v_{2i}, \quad v_{2f} = v_{1i}
$$
2. 当 $ m_2 \gg m_1 $ 且 $ v_{2i} = 0 $
即质量较大的物体静止，质量较小的物体与其发生弹性碰撞，结果为：
$$
v_{1f} = -v_{1i}, \quad v_{2f} \approx 0
$$
这说明小物体被反弹，而大物体几乎不动。
六、总结
通过上述推导，我们得到了完全弹性碰撞后两个物体的速度表达式，这些公式在解决实际物理问题时非常有用。理解其推导过程，有助于加深对动量和能量守恒的理解，也为后续学习更复杂的碰撞问题打下坚实基础。
希望这篇推导能够帮助你更好地掌握高中物理中的弹性碰撞知识！
