在数学学习中，实数是一个重要的概念，它涵盖了有理数和无理数两大类。掌握实数的运算规则不仅有助于提高解题能力，还能为更复杂的数学问题打下坚实的基础。为了帮助大家更好地理解和运用实数的相关知识，本文将通过一系列精选的计算题目进行专项训练，并附上详细的解答过程。
一、基础知识回顾
在开始练习之前，让我们先回顾一下与实数相关的几个关键点：
1. 实数的分类：
- 有理数：可以表示为分数形式 \(\frac{p}{q}\)，其中 \(p\) 和 \(q\) 是整数且 \(q \neq 0\)。
- 无理数：无法表示为分数形式，如 \(\sqrt{2}, \pi\) 等。
2. 基本运算规则：
- 加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
- 减法可视为加法的逆运算，除法则为乘法的逆运算。
3. 常见性质：
- 实数具有完备性，即任意两个实数之间都可以插入无限多个其他实数。
- 实数轴上的点与全体实数组成一一对应关系。
接下来，我们将进入实战部分，通过具体例题来巩固这些知识点。
二、专项练习题
题目 1：
计算以下表达式的值：
\[
\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{18}
\]
解析：
首先对每个平方根进行化简：
\[
\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}, \quad \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}, \quad \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}.
\]
代入原式：
\[
\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (2+5-3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.
\]
答案：\(4\sqrt{2}\)
题目 2：
已知 \(a = 3\sqrt{3}\), \(b = 2\sqrt{5}\)，求 \(a^2 - b^2\) 的值。
解析：
利用平方差公式 \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)：
\[
a + b = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{5}, \quad a - b = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}.
\]
因此：
\[
a^2 - b^2 = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) = (3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5})^2.
\]
继续计算：
\[
(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27, \quad (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20.
\]
所以：
\[
a^2 - b^2 = 27 - 20 = 7.
\]
答案：\(7\)
题目 3：
若 \(x = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 1}\)，求 \(x\) 的倒数。
解析：
根据倒数定义，\(x\) 的倒数为 \(\frac{1}{x}\)。先对 \(x\) 进行化简：
\[
x = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 1}.
\]
分子分母同时乘以 \(\sqrt{7} - 1\) 的共轭 \(\sqrt{7} - 1\)：
\[
x = \frac{(\sqrt{7} - 1)^2}{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1)} = \frac{7 - 2\sqrt{7} + 1}{7 - 1} = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{6}.
\]
进一步化简：
\[
x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}.
\]
因此，\(x\) 的倒数为：
\[
\frac{1}{x} = \frac{3}{4 - \sqrt{7}}.
\]
再次乘以共轭 \(\frac{4 + \sqrt{7}}{4 + \sqrt{7}}\)：
\[
\frac{1}{x} = \frac{3(4 + \sqrt{7})}{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})} = \frac{3(4 + \sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{3(4 + \sqrt{7})}{9} = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}.
\]
答案：\(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\)
三、总结
通过以上三个典型例题的练习，我们可以看到实数计算的核心在于熟练掌握平方根的化简技巧以及灵活运用各种代数公式。希望这些题目能够帮助大家夯实基础，提升解题效率。如果还有疑问，欢迎随时交流探讨！
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最终答案汇总：
1. \(4\sqrt{2}\)
2. \(7\)
3. \(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\)
