在数学中，一元二次函数通常表示为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \neq 0 \)。这类函数的图像是一条抛物线，其开口方向取决于系数 \( a \) 的正负。当 \( a > 0 \) 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 \( a < 0 \) 时，抛物线开口向下，函数有最大值。那么，如何准确地求出这个最大值或最小值呢？以下是详细的步骤解析。
1. 确定抛物线的顶点坐标
抛物线的顶点是函数取最大值或最小值的位置。对于标准形式的一元二次函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，顶点的横坐标可以通过公式计算：
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
将这个 \( x \) 值代入原函数 \( f(x) \)，即可得到对应的纵坐标，即最大值或最小值。
2. 判断顶点是否在定义域内
如果问题给出了函数的定义域（例如闭区间），需要确认顶点是否位于该区间内。若顶点不在定义域内，则函数的最大值或最小值出现在区间的端点处。
3. 计算端点值
如果顶点不在定义域内，需分别计算定义域两端点的函数值，并比较这些值与顶点处的函数值，从而确定最终的最大值或最小值。
4. 示例分析
以 \( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \) 为例，我们来具体操作一下。
- 首先确定顶点横坐标：
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = 2
\]
- 将 \( x = 2 \) 代入原函数，计算顶点纵坐标：
\[
f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -8 + 16 - 5 = 3
\]
因此，顶点处的函数值为 3。
- 若定义域为全体实数，则该函数的最大值为 3。
- 若定义域限制为某个区间（如 [0, 4]），还需比较区间端点的函数值：
\[
f(0) = -5, \quad f(4) = -2(4)^2 + 8(4) - 5 = -32 + 32 - 5 = -5
\]
显然，区间内的最大值仍为 3。
5. 总结方法
通过上述步骤，我们可以总结出求一元二次函数最大值和最小值的核心思路：
1. 利用公式计算顶点坐标；
2. 根据顶点位置判断是否为极值点；
3. 若有定义域约束，需额外计算端点值并进行比较。
这种方法不仅适用于理论推导，也适合解决实际问题中的优化需求。希望本文能帮助你更清晰地理解这一知识点！
