在统计学和概率论中，对数正态分布是一种重要的连续概率分布。如果一个随机变量的自然对数服从正态分布，那么这个随机变量就服从对数正态分布。这种分布常用于描述那些具有乘法性质或增长过程的数据，例如金融资产的价格变化、生物种群的增长等。

对数正态分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：

\[ f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0 \]

其中，\(\mu\) 和 \(\sigma\) 分别是正态分布的均值和标准差。这里的 \(x\) 是随机变量的取值，且必须大于零。

性质

1. 非负性：由于对数正态分布定义在正实数上，因此其支持集为 \(x > 0\)。

2. 偏斜性：对数正态分布通常表现为右偏，即长尾向右延伸。

3. 参数意义：

- \(\mu\) 控制分布的位置。

- \(\sigma\) 控制分布的形状和宽度。

应用场景

- 金融领域：股票价格的变化往往被假定为对数正态分布，因为股价的百分比变化通常被认为是独立且同分布的。

- 生物学：种群数量的增长、个体大小的分布等都可以用对数正态分布来建模。

- 工程学：材料强度、故障时间等也可能遵循对数正态分布。

通过对数正态分布的引入，我们能够更好地理解和预测那些涉及乘法累积效应的现象。这种分布的独特性质使其成为许多实际问题分析中的有力工具。