在数学中，三角函数是一类重要的函数类型，广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。了解三角函数的定义域和值域是掌握其性质和应用的基础。本文将详细介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等常见三角函数的定义域与值域。

正弦函数（sin x）

正弦函数的定义为：对于任意实数 \(x\)，正弦函数 \(\sin x\) 的值等于单位圆上某点的纵坐标。其定义域为全体实数，即 \(x \in \mathbb{R}\)。由于单位圆的周期性，正弦函数具有周期性，周期为 \(2\pi\)。正弦函数的值域为 \([-1, 1]\)，即 \(\sin x\) 的最大值为 1，最小值为 -1。

余弦函数（cos x）

余弦函数的定义类似于正弦函数，其值等于单位圆上某点的横坐标。余弦函数的定义域同样为全体实数，即 \(x \in \mathbb{R}\)。余弦函数也是周期函数，周期为 \(2\pi\)。其值域也为 \([-1, 1]\)，最大值为 1，最小值为 -1。

正切函数（tan x）

正切函数的定义为 \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)。正切函数的定义域为所有使 \(\cos x \neq 0\) 的实数，即 \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) （其中 \(k \in \mathbb{Z}\)）。正切函数的值域为全体实数，即 \((- \infty, +\infty)\)。正切函数也具有周期性，周期为 \(\pi\)。

其他三角函数

除了上述三种基本三角函数外，还有余切函数（cot x）、正割函数（sec x）和余割函数（csc x）。这些函数的定义域和值域可以通过它们与正弦、余弦和正切函数的关系来确定。

- 余切函数（cot x）：定义为 \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)，定义域为 \(x \neq k\pi\) （其中 \(k \in \mathbb{Z}\）），值域为 \((- \infty, +\infty)\)。

- 正割函数（sec x）：定义为 \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\)，定义域为 \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) （其中 \(k \in \mathbb{Z}\）），值域为 \((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\)。

- 余割函数（csc x）：定义为 \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)，定义域为 \(x \neq k\pi\) （其中 \(k \in \mathbb{Z}\）），值域为 \((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\)。

通过以上分析，我们可以清楚地看到不同三角函数的定义域和值域之间的差异。这些知识不仅有助于我们更好地理解三角函数的基本性质，还能帮助我们在实际问题中正确选择和使用这些函数。

希望本文能够帮助读者加深对三角函数的理解，并在学习和应用中取得更好的效果。