在初中数学的学习过程中，垂径定理是一个非常重要的知识点。它不仅在几何证明中占据重要地位，而且在解决实际问题时也具有广泛的应用。为了帮助九年级学生更好地掌握这一知识点，本文将提供一套精心设计的练习题，并附上详细的答案解析。

什么是垂径定理？

垂径定理是指：在圆中，如果一条直线经过圆心并且垂直于弦，则这条直线平分弦以及弦所对的弧。简单来说，就是通过圆心且垂直于弦的直线会把弦和对应的弧分成相等的部分。

练习题

1. 已知圆O的半径为5cm，弦AB的长度为6cm，且OC垂直于AB，求OC的长度。

2. 在圆O中，直径CD垂直于弦AB，交点为E。若AE=3cm，EB=5cm，求直径CD的长度。

3. 圆O中，弦AB与直径CD相交于点P，且AP=4cm，PB=9cm，求CP和PD的长度。

答案解析

1. 根据垂径定理，OC垂直于弦AB并平分AB。因此，AC=BC=3cm。利用勾股定理计算OC的长度：

\[

OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{cm}

\]

2. 同样利用垂径定理，直径CD垂直于弦AB且平分AB。因此，AB=AE+EB=8cm。设直径CD的长度为x，则DE=x/2。根据勾股定理：

\[

OD^2 = OE^2 + ED^2 \implies (x/2)^2 = 4^2 + (x/2 - 3)^2

\]

解方程可得x=10cm。

3. 再次应用垂径定理，弦AB被直径CD平分。因此，AP=PB=4.5cm。由于AP=4cm，PB=9cm，可以得出CP和PD分别为2cm和7cm。

通过以上练习题和解答，希望同学们能够更加深入地理解垂径定理的应用。熟练掌握这些基本概念和技巧，对于解决更复杂的几何问题将大有裨益。继续加油，相信你们一定能在数学学习的道路上取得优异的成绩！